वास्तविक संख्या

वास्तविक संख्याएँ गणित की आधारभूत इकाइयाँ हैं जो दैनिक जीवन में उपयोग की जाती हैं। इनमें प्राकृतिक संख्याएँ, पूर्ण संख्याएँ, पूर्णांक, परिमेय संख्याएँ और अपरिमेय संख्याएँ शामिल होती हैं। वास्तविक संख्याओं को समझना बीजगणित, ज्यामिति और गणित की अन्य शाखाओं में समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यक है।

1. अंकगणित का मौलिक प्रमेय

परिभाषा:

प्रत्येक संयुक्त संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में एक अद्वितीय तरीके से व्यक्त किया जा सकता है, सिवाय गुणकों के क्रम के।

उदाहरण 1:

24 को अभाज्य गुणकों के रूप में लिखा जा सकता है:

24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 2³ × 3

उदाहरण 2:

90 को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

90 = 2 × 3 × 3 × 5 = 3² × 5

2. यूक्लिड का भाग प्रमेय

कथन:

3. दो संख्याओं का HCF और LCM

1. HCF (महत्तम समापवर्तक):

वह सबसे बड़ी संख्या जो दो या अधिक संख्याओं को पूरी तरह विभाजित करती है।

2. LCM (लघुत्तम समापवर्त्य):

वह सबसे छोटी संख्या जो दो या अधिक संख्याओं से विभाज्य होती है।

विधि 1 – अभाज्य गुणनखंडन:

उदाहरण 1:

12 और 18 का HCF और LCM ज्ञात कीजिए।

• 12 = 2² × 3

• 18 = 2 × 3²

HCF: समान अभाज्य गुणकों का न्यूनतम घात → 2 × 3 = 6

LCM: सभी अभाज्य गुणकों का अधिकतम घात → 2² × 3² = 36

विधि 2 – भाग विधि:

उदाहरण 2:

48 और 60 का HCF:

60 | 48 → क्या 60, 48 को विभाजित करता है? नहीं

48 | 60 → बड़ी संख्या को छोटी से भाग दें:

60 ÷ 48 = 1 शेष 12

48 ÷ 12 = 4 शेष 0 → HCF = 12

LCM = (संख्याओं का गुणनफल) / HCF = (48 × 60)/12 = 240

वास्तविक संख्याओं का दशमलव निरूपण

1. समाप्त दशमलव → परिमेय संख्याएँ (जैसे 0.25)

2. अनंत आवर्ती दशमलव → परिमेय संख्याएँ (जैसे 0.666…)

3. अनंत गैर-आवर्ती दशमलव → अपरिमेय संख्याएँ (जैसे √2 = 1.414213…)

HCF के लिए यूक्लिडीय एल्गोरिदम

बड़ी संख्याओं का HCF ज्ञात करने की एक तेज विधि, जो बार-बार भाग देकर की जाती है।

उदाहरण:

252 और 105 का HCF:

• 252 ÷ 105 = 2 शेष 42

• 105 ÷ 42 = 2 शेष 21

• 42 ÷ 21 = 2 शेष 0 → HCF = 21

सारणी (Summary Table)

अभ्यास के प्रश्न

1. 36 और 60 का HCF और LCM अभाज्य गुणनखंडन विधि से ज्ञात कीजिए।

2. 56 को अभाज्य गुणकों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए।

3. यूक्लिड के प्रमेय का उपयोग करके 123 को 7 से विभाजित कीजिए।

4. जाँच कीजिए कि √50 परिमेय है या अपरिमेय।

5. सिद्ध कीजिए कि 8 और 12 के लिए HCF × LCM = संख्याओं का गुणनफल।

यह अध्याय व्याख्या एक पाठ्यपुस्तक की तरह विस्तृत और क्रमबद्ध है, जिसमें परिभाषाएँ, सूत्र, उदाहरण, गुणधर्म और अभ्यास शामिल हैं।